4-5. 분리된 그룹

제가 숨겨진 싱글(Hidden Singles)을 찾는 (정확히는 굳이 찾을 필요가 없게 만드는) 아주 멋진 요령이 있다고 했던 것 기억하시나요?

그 단계로 넘어가기 전에, 우리가 '숨겨진 그룹'을 찾을 때 이미 접해본 적 있는 네이키드 그룹(Naked Groups) 을 먼저 빠르게 살펴보겠습니다. (숨겨진 그룹은 해당 그룹의 칸들에서 다른 후보 숫자들을 제거하고 나면 네이키드 그룹으로 변합니다.)

네이키드 그룹 (Naked Groups) 이것은 네이키드 페어(Naked Pair)입니다...

... 이것은 네이키드 트리플(Naked Triple)이고...

... 그리고 이것은 네이키드 쿼드러플(Naked Quadruple)입니다.

이 그룹의 모든 후보 숫자들에 대해, 여러분은 그 숫자들이 해당 쿼드러플이 속한 영역(박스)의 다른 어떤 곳에도 들어갈 수 없다는 것을 알 수 있습니다. 만약 1, 2, 3, 4가 그 네 칸에 들어갈 수 있는 유일한 네 가지 값이라면...

... 그 숫자들 중 하나를 해당 영역의 다른 곳에 넣을 경우, 남은 3개의 숫자(1, 2, 3)를 4개의 칸에 나누어 배치해야 하는 불가능한 상황이 발생하기 때문입니다.

더 적은 수의 숫자로도 작동합니다 (Fewer numbers also work) 물론 이 원리는 해당 숫자들의 부분집합(subset)만 있는 경우에도 똑같이 작동합니다. 이 네 칸 역시 유효한 네이키드 쿼드러플을 형성하며, 우리는...

... 해당 박스의 다른 모든 칸에서 1, 2, 3, 4를 제거할 수 있습니다.

그룹 vs 세트 (Group vs. Set) 이제 '그룹(Group)' 이 무엇인지 빠르게 살펴보겠습니다. 짧은 일러두기: 여기서 설명하는 것의 정확한 용어는 '확정 세트(Locked Set)'이지만, '그룹'이라는 표현이 좀 더 편안하고 간단해서 이 용어를 사용하겠습니다.

'그룹'은 종종 셀(칸)들의 모임 (또는 여러 셀에 걸친 하나의 후보 숫자)을 의미합니다.

'세트'는 일반적으로 후보 숫자들의 모음(여기서는 1, 4, 6)을 가리킵니다.

이 둘을 결합하면 소위 '확정 세트(Locked Set)' 또는 '확정 그룹(Locked Group)' 이 됩니다 (관점에 따라 다름). 여기서는 정확히 3개의 후보 숫자가 정확히 3개의 셀로 이루어진 그룹 안에 고정되어 있습니다. 저는 이런 확정된 그룹을 간단히 '그룹'이라고 부르겠습니다.

• 그래서 1-그룹은 1개의 후보 숫자가 1개의 셀에 고정된 것입니다. (싱글)
• 2-그룹은 2개의 후보 숫자가 2개의 셀에 고정된 것입니다. (페어)
• 3-그룹은 3개의 후보 숫자가 3개의 셀에 고정된 것입니다. (트리플)
• ...
• 9-그룹은 9개의 후보 숫자가 9개의 셀에 고정된 것입니다.

9-그룹에서는 9개의 후보 숫자가 9개의 셀에 고정됩니다. 우리는 이 9-그룹을 (1,2,3,4,5,6,7,8,9)-그룹으로 표기할 수 있으며, 이는 오직 1부터 9까지만을 후보 숫자로 가지는 그룹을 의미합니다.

그룹 쪼개기 (Splitting a Group) 하나의 그룹은 더 작은 그룹들로 쪼개질 수 있습니다. 가장 쉬운 예는 여러분이 싱글을 찾는 경우입니다. 그 칸 중 하나가 3이라는 것을 알아냈다고 상상해 보세요. 이제 여러분은 두 개의 그룹을 만든 셈입니다. (1,2,3,4,5,6,7,8,9)-그룹은 (1,2,4,5,6,7,8,9)-그룹과 (3)-그룹으로 나뉩니다.

페어를 찾는 것 역시 남은 그룹들을 더 쪼개게 됩니다. 우리는 이제 세 개의 그룹으로 줄어들었습니다:

• (2,4,5,6,8,9)-그룹
• (3)-그룹
• (1,7)-그룹

서로소 (Disjoint) 그룹들은 항상 서로소(disjoint)입니다. 즉, 한 영역 내의 어떤 두 그룹도 후보 숫자를 공유하지 않습니다. 따라서 이 예시는 두 개나 세 개가 아닌, 단 하나의 그룹만 보여주고 있습니다. (모든 칸이 4, 5, 6 후보 숫자를 공유하고 있기 때문입니다.)

하지만 만약 여러분이 어떤 그룹 안에서 또 다른 그룹을 찾았다면, 남은 칸들 역시 그 자체로 새로운 그룹을 형성한다고 확신할 수 있습니다. 이 그리드를 예로 들어보겠습니다. 오직 2, 4, 6 세 개의 후보 숫자만 들어갈 수 있는 세 칸을 방금 찾아냈다고 상상해 보세요.

그럼 여러분은 2, 4, 6이 들어 있던 이전 그룹의 나머지 칸들 역시 이제 하나의 그룹을 형성한다는 것을 즉시 알 수 있습니다. 즉, 2, 4, 6이 허용되지 않는 그룹 말입니다.

상호보완성 (Complementary) 이론적으로 스도쿠 퍼즐에는 9-그룹도 존재할 수 있습니다. 하지만, 모든 그룹에는 그에 상응하는 또 다른 그룹이 존재합니다. 클래식 스도쿠에서 한 영역은 항상 정확히 9칸이기 때문에, 만약 한 행에 8-그룹이 있다면 남은 한 칸은 1-그룹이 될 것임을 알 수 있습니다. 모든 7-그룹에 대해서는 2-그룹이 존재합니다. 6-그룹이 있는 행에는 항상 3-그룹도 포함되어 있습니다.

이러한 이유로, 우리는 4-그룹보다 더 큰 그룹을 굳이 찾으려고 애쓸 필요가 없습니다.

네이키드 그룹과 숨겨진 그룹의 관계 (Connection between naked and hidden Groups) 네이키드 그룹 기술은 여러분이 네이키드 그룹을 찾음으로써 그에 상응하는(상호보완적인) 숨겨진 그룹을 드러냅니다. 반대로 숨겨진 그룹 기술은 숨겨진 그룹을 찾아 그것을 네이키드 그룹으로 바꾸는 것입니다.

이 예시를 보세요. 빨간색 칸들은 네이키드 페어입니다. 두 칸 모두 다른 모든 숫자들의 영향을 받기 때문에 8 또는 9만 들어갈 수 있습니다.

해당 영역의 다른 두 빈칸은 숨겨진 페어(Hidden Pair) 입니다. 3과 4는 그 열의 다른 모든 칸에 들어가는 것이 금지되어 있으므로, 남은 두 칸에 들어가야만 합니다.

25. 따라서 (3,4,8,9)-그룹(네 개의 빈칸)을 쪼개면...

... 두 개의 그룹이 만들어집니다. 하나는 숨겨진 그룹( (3,4)-그룹 )이었고 다른 하나는 네이키드 그룹( (8,9)-그룹 )이었습니다.

요령 (The Trick) 이제 여러분은 제가 처음에 말한 그 요령이 무엇인지, 그리고 왜 우리가 숨겨진 트리플이나 쿼드러플을 찾으려 애쓸 필요가 없는지 눈치채셨을 것입니다. 숨겨진 그룹 대신 항상 그에 상응하는 네이키드 그룹을 찾으면 되기 때문입니다.

개인적으로 저는 이 네이키드 쿼드러플을 찾는 것이...

... 이 숨겨진 페어를 찾는 것보다 더 쉬우며, 많은 사람들이 자신들도 마찬가지라고 말해주었습니다.

물론 이 요령은 '전체 후보 숫자 표기법(Full Candidate Notation)'을 사용할 때만 정말로 유용합니다. 경험상, 전체 후보 숫자 표기법 없이 숨겨진 그룹을 찾을 때는 단순히 싱글들을 관찰하는 것이 더 쉽지만...

전체 후보 숫자 표기법을 사용할 때는, 상응하는 네이키드 그룹을 발견하여 숨겨진 그룹을 찾는 것이 훨씬 더 쉽습니다.

스도쿠를 바라보는 또 다른 시각 (Another way to look at a Sudoku) 이제 그룹(일명 확정 세트)에 대해 배웠으니, 스도쿠 풀이의 목표에 대해 아주 멋진 방식으로 생각해볼 수 있습니다. 스도쿠의 목표란 마치 이 9-그룹을 점점 더 작은 그룹들로 쪼개어 나가, 마침내 정답 싱글들인 1-그룹들만 남게 만드는 과정과 같다고 볼 수 있습니다.

마무리 (Finished) 다음 스도쿠 퍼즐들은 네이키드 트리플과 쿼드러플을 찾아야 하므로, 전체 후보 숫자 표기법을 사용해서 풀어보시는 것을 추천합니다.